HOME>Information>통계학강의-표본이론
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-- 앞에서 살펴본 확률분포는 얻고자 하는 자료()의 모집단 전체에 대한 분포로서 이론적인
-- 분포이다. 현실적으로 모집단 전체를 조사할 수는 없는 것으로 간주하기 때문에 모집단 전체는
-- 미지의 집단이고 따라서 이론적으로 설명할 수밖에 없다. 그러므로 실제로 자료를 얻는
-- 과정이나 방법에 대해 보다 체계적으로 이해할 필요가 있다.
 
-- 3-1 표본
-- 표본이란 이론적으로 밖에 설명할 수 없는 모집단의 일부로서 모집단으로 부터 실제로 얻어낸 -- 구체적인 자료들을 말한다. 즉, 20세 성인의 월 소비액()이란 모집단으로부터 1,000개의
-- 구체적인 자료를 얻었다면 이를 표본이라고 한다. 즉, 변수 의 1000개 관찰값들을 말한다.
-- 그러나, 통계학의 이론 전개과정을 이해하기 위해서는 표본을 구체적인 관찰값들로서 뿐만
-- 아니라 변수로서의 표본을 이해할 필요가 있다. 이제, 크기의 표본을
-- 이라고 표현해 보자. 이는 구체적인 값들을 얻기 이전의 이론적 형태의 표본에 대한 정의이다.
-- 즉, 은 첫 번째 얻어질 어떤 값, 는 두 번째 얻어질 어떤 값, … , 은 n번째 얻어질 어떤
-- 값을 나타내고 있다. 이를테면 실제로 얻어진 표본 은 이론적인 표본
-- 의 구현된 값들일 뿐이다.우리는 물론 두 가지 표현 모두를 표본이라고
-- 부른다.
-- 앞에서 언급한 대로 확률변수는 확률분포를 한다. 그러므로 표본 에서
-- 각각의 들은 확률분포를 하는데 바로 모집단(확률변수 )의 분포와 같은 분포를 하게 된다.
-- 즉,
---------- (3-1)
-- 이다. 여기서 i.i.d.는 똑같이 독립적으로 분포한다(identically independently distributed)의
-- 약자이다.

-- 예를 들어, 수능시험을 치른 50만명 학생들의 성적(:모집단)분포는 평균 , 분산 의
-- 정규분포를 한다고 하자. 그러면, 모집단을 구성하고 있는 의 값들이 50만개 존재한다는
-- 것이고 몇 점씩인지는 모르는 상태이다. 이때 [그림 3-1]과 같이 n개의 표본을 얻을 경우,
-- 으로 표현할 수 있는데, 50만개의 중에서 n개의 를 얻는다는
-- 의미이다. 따라서 모두 평균이 이고 분산이 인 정규분포를 한다고
-- 볼 수 있다. 물론 들끼리는 서로 독립이다. 여기서(이론적으로 복잡하게 표현되지만)
-- 독립이라는 것은 표본들끼리 서로 영향을 미치지 않는다는 뜻으로 이해하면 된다.

-- 확률변수들로서의 표본을 이해하는 것은 매우 중요한 일이다. 왜냐하면, 앞으로의 통계이론
-- 전개가 모두 표본으로부터 시작되기 때문이다. 그리고 모집단과 확률변수, 표본의 관계가
-- 확실해야만 통계분석기법들의 내용과 그 결과물을 확실하게 이해할 수 있기 때문이다. 다시
-- 한번 강조하면 [그림 3-2]와 같은 과정으로 구체적으로 컴퓨터에 입력하게 되는 n개의 표본값,
--들이 얻어진다는 것이다.
 
-- 3-2 통계량
-- 흔히들 어떤 수치를 통계라고 한다. 이를테면, 전세계의 연도별 기아 사망자수 통계, 통화량
-- 통계, 자동차 통계 등등 통계라고 표현하는 것의 정확한 용어는 통계량(statistic)이다.
-- 통계량이란 표본으로부터 얻어진 어떤 것으로 정의된다. 즉, 또는
--으로부터 얻어진 결과를 통계량이라고 한다.
-- 예를 들면 등 통계량의 형태는 무수히 많다. 여기서
-- 중요한 것은 확률변수 형태의 표본, 으로부터 얻어진 통계량은 하나의
-- 또 다른 확률변수로서 어떤 분포를 한다는 것이다. 즉, 앞의 예 중에서 , , 은 어떤
-- 분포를 한다는 점이다.

-- 이제, 모집단과 표본의 관계로 부터 통계량을 이해해 보자. 모집단의 크기가 이라고 한다면
-- 표본의 크기 n은 에 비해 훨씬 작은 값일 것이다. 표본은 모집단으로부터 얻어진 것은
-- 물론이다. 그러면, 통계량은 어떤 목적으로 얻는 것일까? 모집단에 대해 알고자 하는 어떤 값을
-- 파라메터(parameter)라고 하는데 파라메터 값을 직접적으로 알 수는 없으므로 표본으로부터
-- 얻어진 값, 통계량으로써 파라메터를 알아내자는 것이다. 이와 같은 과정을 추정이라고 하는데
-- 뒤에서 다루게 될 것이다.

-- 파라메터 중에서도 가장 중요한 것은 역시 평균이다. 즉, 모집단()의 무수히 많은 값들을
-- 대표하는 하나의 값이 평균이기 때문에 평균으로써 그 모집단의 특성을 한마디로 표현하고자
-- 하는 경우가 많다.

-- 수많은 대학생들의 등록금 인상액 평균, 서울시 세대별 전력사용량 평균, 어느 건설회사의
-- 월평균 사고건수 등등 평균이라는 파라메터로써 우리가 알고자 하는 바를 나타낼 수 있는
-- 경우가 허다하다.
-- 그러면, 모집단의 평균을 알아보고자 할 경우, 우리는 어떻게 할 것인가? 모집단으로부터 표본을
-- 얻고 표본의 평균을 구함으로써 모집단의 평균에 관한 궁금증을 해결할 수 있을 것이다.
-- [그림 3-3]은 모집단과 파라메터, 이에 대응되는 표본과 통계량의 관계를 나타내고 있다.
-- 모집단의 크기가 일 경우, 모집단으로부터 표본크기 n의 표본을 얻어서 모집단에 대해
-- 알고 싶은 파라메터 값들을 통계량으로써 추정하게 된다는 과정을 보여주고 있다.
 
-- 3-3 표본평균의 분포
-- 모집단으로 얻게되는 표본의 평균은 표본이 어떻게 얻어졌느냐에 따라 그 표본평균값이 다르게
-- 된다. 이를테면, 모집단이 1000개의 개체로 구성되어 있을 경우, 1000개중에서 어떤 개체가 선택
-- 되느냐에 따라 표본의 구성이 달라지므로 1000개에서 100개를 고르는 경우의 수 ,
-- 즉, 개나 되는 서로 다른 표본이 가능하다.

-- 따라서, 이론상으로 개의 표본평균값들이 있을 수 있는데, 그 표본평균 값들 중에는
-- 같은 값도 있겠고 서로 다른 값들도 있을 것이다. 이렇게 표본평균값들이 여러 개 존재할 수
-- 있으므로 표본평균값들의 분포가 있게 되고 이를 표본평균의 분포라 하는 것이다.

-- 예를 들어, {0, 1, 2, …, 14}의 값들을 갖고 있는 15개의 카드로 모집단이 구성되어 있다고 하자.
-- 이 모집단으로부터 표본크기 n=6의 표본을 얻고자 할 때, 얻어질 수 있는 가능한 표본들의 수는
-- , 즉, 5005개의 서로 다른 표본들이 있게 된다. 이를테면,
-- 등의 서로 다른 표본들이 존재하므로 각 표본들에 대한 표본평균값들이 5005개 얻어질 수 있다.
-- 이들 5005개의 표본평균값들은 가장 작은 값 (=2.5, {0, 1, 2, 3, 4, 5})에서 가장 큰 값
-- (=11.5, {9, 10, 11, 12, 13, 14}) 사이에 분포되어 있을 것이고 그 중에서는 같은 값들도 있을
-- 것이다. 이들 5,005개의 표본평균값들의 분포를 표본평균의 표본분포(sampling distribution of
-- sample means)라고 하는데 복잡한 용어이므로 간단히 표본평균의 분포(의 분포)라고
-- 부르기로 하자. 물론, 우리들은 실제에 있어 단 하나의 표본, 을 얻는 것이며
-- 그의 표본평균값 를 얻게 되는 것이다.

-- 이와 같은 사실을 이론적으로 설명해 보면 다음과 같다.
-- 이론적인 표본, 은 n개의 확률변수로 구성되어 있다. 각각의 는
-- 모집단의 분포, 즉, 의 확률분포를 한다고 하였다. 그러면, 표본평균, 는
-- 이므로 또한 확률변수이고 확률분포를 한다는 것이다. 가 어떤 분포의 형태를 갖는가는
-- 잠시 후에 알아보기로 하고, 먼저 확률변수 의 평균과 분산을 구해보면 다음과 같다. 즉,
---------- (3-2)
---------- (3-3)
-- 이다.

-- 이론적으로 생각해 볼 때, 모든 가능한 표본평균값들의 평균은 전체의 평균, 즉 모집단의 평균이
-- 될 것은 당연한 결과이다. 또, 표본평균들의 분산은 모집단의 분산을 표본의 크기 n으로 나눈
-- 것으로 얻어진다. 다음의 연산과정을 이해할 수 있다면 통계학이론의 좋은 배경이 될 것이다.
---------- (3-4)
-------- (3-5)
-- 그러면, 는 어떤 분포의 형태를 갖는가? 이에 대한 해답은 다음의 중심극한정리(Central
-- Limit Theorem)가 해결해 준다.
 
-- [중심극한정리(Central Limit Theorem)]
--
 
-- 여기서, 표본의 크기가 충분히 클 경우란 경험적으로 n=30이상일 경우를 말한다.
-- 중심극한정리는 표본평균의 분포를 정규분포로 취급해도 좋다는 가이드라인을 설정해 주는
-- 중요한 정리이다. 왜냐하면, 모집단의 자료들이 (확률변수 가) 어떤 분포를 하는지
-- 모르더라도 표본평균 에 대한 분포가 정규분포한다고 할 수 있는 근거를 제공해주기
-- 때문이다. 그러나, 표본의 크기가 작을 경우, 예를 들어 n = 10일 경우에 의 분포가
-- 정규분포를 따른다고 하기에는 큰 무리가 될 수 있다. 그러므로 이런 경우에는 비모수적
-- (nonparametric) 방법에 의해 자료를 분석하는 것이 현명하다. 물론 모집단이 정규분포하면
-- 표본의 크기에 관계없이 는 정확하게 정규분포한다.
 
-- [ CASE STUDY ]
병원에서 환자들이 도착하여 진료를 받기까지의 대기시간은 환자들이나 의사들에게 모두 필요할 수 있는데 그 대기시간을 잘 분석 조정해야만 한다. 즉, 환자들의 입장에서 보면 약속시간 정각에 도착하지 못할 경우 대기시간 내에 도착하면 대기자 명단의 뒤로 빠지게 되는 불행을 면할 수 있을 것이고 의사들의 입장에서는 환자를 보는 데에 따른 돌발적인 일들(X-ray를 찍거나 검사자료 요구 등)을 처리하는 시간을 확보할 수 있다. 그러나, 환자들은 오래 기다리면 무료함으로 짜증이 나거나 또 자신들의 약속 스케줄 (경제활동) 때문에 그 병원을 찾지 않을 수도 있을 것이다. 그러므로, 의사들은 적정한 평균 대기시간을 파악하여 환자들의 수를 효과적으로 정해 놓아야만 한다.

예를 들어, 어느 종합병원에서는 모든 소아과의사들에게 각자 파악한 환자들의 대기시간을 보고해 달라고 요청하였다. 전체 50명의 소아과 의사들이 보고한 자료들의 평균은 24.7분 표준편차는 19.3분이었다. 의사들은 각자 자신의 컴퓨터에 입력되어 있는 모든 환자들의 대기시간들을 보고하였기 때문에 평균 24.7분 표준편차 19.3분은 그 종합병원을 방문한 소아과 환자들 전체(모집단)의 평균()
과 표준편차 ()가 될 것이다.

어느 소아과 의사는 병원의 종합기획실에 보고된 소아과 의사 전체 50명의 평균(=24.7), 표준편차(=19.3)을 모르고 있는 상태에서 자신의 진료시간을 효율적으로 운영하기 위해서는 환자들의 평균 대기시간이 22분 정도일 것으로 생각해 왔다. 그는 자신의 생각을 확인하기 위해서 환자들 대기시간들 중에서 100개의 자료를 뽑아 표본 평균을 구하여 그 값이 19분에서 25분사이에 있으면 현재까지 해오던 방식으로 환자들과 약속하면 될 것이고 생각하였다.

................1) 그 소아과 의사가 얻은 표본의 평균()은 어떤 분포를 하는가?

...................................................

................2) 그 의사의 표본평균이 (19분∼25분)사이에서 얻어질 확률은?

...............

................3) 그의 표본평균이 (19분∼25분)사이에서 얻어질 확률이 55.8%라는 것은 상당히 높은
................... 가능성을 나타내고 있다. 다시 말하면, 그가 전체 소아과 환자들의 평균대기시간이
................... 22분 정도 된다고 믿을 가능성이 55.8%나 된다. 즉, 환자들과의 약속 시스템을
................... 바꾸어야 함에도 바꾸지 않을 오류를 범하게 될 것이다.
 
-- [ CASE STUDY ]
기업이나 공장에서 작업시간이 기준으로 정해둔 표준작업시간과 차이가 있을 경우 그 이유를 분석하여 작업을 독려한다든지 표준작업시간을 조정해야만 한다. 왜냐하면 작업시간은 비용과 직결되어 있기 때문이다. 예를 들어, 실험실에서 특정의 실험을 수행하는 데 평균 45분 걸린다고 알려져 있는데, 지난달에 기록된 실험시간의 평균은 60분이라고 할 때 어떤 문제가 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 실험자들이 비효율적으로 시간을 사용하여 15분이나 더 걸렸는지, 또는 새로 도입된 실험기기들을 다루는 데 더 시간이 걸리는지 등을 판단해야만 할 것이다. 만일 새로운 기기들을 조작하는 데 시간이 더 걸린다고 판단되면 표준작업시간을 늘려 잡아야만 할 것이다.

공장에서 제품의 불량율은 일정한 정도의 수준으로 유지되어야 한다고 한다. 하루에 생산되는 제품 1,000개중에서 불량품은 평균() 24개 표준편차()는 2.7개로 분포하는 것이 바람직하다고 알려져 있다. 불량품이 더 많게 되면 당연히 문제가 될 것이고 불량품이 적게 되어도 비용이 상승하여 회사 입장에서는 평균 24개정도 불량품이 나오도록 관리하고자 한다. 이 회사에서는 불량품을 잘 관리하기 위해 표본으로 49일간의 불량품 개수를 얻어 평균값이

...................................................

사이에 있으면 제대로 관리되고 있다고 판단하고 그 범위밖에 표본평균 값이 있으면 공정에 문제가 있다고 판단하기로 하였다. 다시 말하면,

.....................................

사이에 표본평균값이 얻어지면 공정을 그대로 유지하고 그 범위밖에 표본평균값이 얻어지면 공정을 검토하기 위해 생산라인을 세워야 한다. 또, 실제로 기계의 낙후로 말미암아 불량품 평균()이 25개인데도 불구하고 표본평균값이 (23.23, 24.73)사이에서 얻어져 공정히 그대로 유지될 확률은 얼마인가를 구해보자. 이때 표본평균()의 분포는 이므로,



즉, 의 확률로 얻어진다.
먼저, 공정에 아무런 문제가 없는데도 (23.23, 24.73)밖의 범위에서 표본평균()이 얻어질 확률은 얼마인가를 구하면 다음과 같다.



즉, 이다.
 
-- 3-4 표본비율의 분포
-- 비율이란 특정성질을 갖는 개체들의 전체에 대한 백분비로써 성공률, 불량률, 지지율, 사망률,
-- 시청률, 부도율 등을 말한다. 예를 들어, 서울시 유권자(모집단)들의 특정인에 대한 지지율 를
-- 생각해보자. 그러면 지지율을 조사하기 위한 자료에 대한 확률변수는
-- 로 정의될 것이고 는 베르누이 분포한다고 한다. 모집단으로부터 표본
-- 할 때 들은 {1, 0}중의 한 값을 취할 것이고
-- 로 나타날 것이다. 따라서 표본으로부터 얻어지는 표본비율 ( hat으로 읽음)은
---------- (3-6)
-- 이 된다. 즉, 은 이 경우에 표본평균의 개념이기 때문에 이 충분히 클 경우, 중심극한정리에
-- 따라서,
---------- (3-7)
-- 으로 간주된다. 여기서, 임은 앞의 베르누이
-- 분포에서 얻은 결과이다.

-- 표본비율의 분포는 베르누이 분포하는 자료(모집단)에 대한 중심극한정리의 적용 예일 뿐이다.
-- 가장 단순한 분포인 베르누이 분포를 하는 모집단으로부터 얻어지는 표본평균 (여기서는 )은
-- 표본의 크기만 충분하다면 정규분포에 근사한다는 것이다.

-- 물론, 이 경우 표본의 크기가 작다면 무의미하다. 비율이란 표본크기가 작을 경우 안정적
-- (stable)이지 못하여 그 용도에 한계가 있기 때문이다. 어느 야구선수의 타율이 10타석에
-- 0.60이라면 그의 타율에 큰 의미를 부여할 수 있겠는가?
-- [예3-1] 어느 감기약 치유율은 90%라고 알려져 있다. 올해에 유행하고 있는 감기에 대해서도
-- 90%의 치유율을 보장 할 수 있는가를 알아보고자 100명의 감기환자에게 감기약을 투여하였다.
-- 이들중 치유된 사람들의 비율이 (85%, 95%)내에 들어 있을 확률은 얼마일까?

-- [풀 이] 먼저, 중심극한정리에 따라 의 분포는
-- 이라고 할 수 있으므로,
--
-- 이다.
 
-- 3-5 표본분산의 분포
-- 표본분산()의 분포는 이해하기에 쉽지 않은 분포이다. 그러므로 부담이 되는 독자는 이
-- 부분을 제외하고 넘어가도 무방할 것이다. 표본분산의 분포를 설명하기 전에 먼저
-- 카이제곱분포(Chi-Square Distribution)를 소개하기로 하자.
 
-- [카이제곱분포(Chi-Square Distribution)]
-- 여기서, 자유도가 n임을 유의해 보자. 에서 독립적인 것들의 수는 n개이다.
-- 카이제곱분포는 표준화정규분포변수들의 제곱합으로 얻어지는[들을 제곱하여
-- 합한 것에 대한] 이론적인 분포이다. 또, 자유도를 갖게 되는데, 자유도가 커지면 커질수록
-- 정규분포에 근사하게 된다. 자유도 1, 4, 6의 카이제곱분포형태는 [그림 3-4]와 같다. 자유도가
-- 커질수록 빠른 속도로 정규분포에 접근해감을 볼 수 있다. 이 분포는 분류된 자료의 분석,
-- 판별분석 등에서 다루게 되는 분포이다.
-- 이제, 표본으로부터 표본분산을 얻으면
---------- (3-8)
-- 이 되는데, 이를 약간 변형시켜 에 대한 분포를 고려해보자. 즉,
---------- (3-9)
-- 는 자유도 (n-1)의 카이제곱분포를 하게 된다. 앞의 카이제곱분포정의와 비교해볼 때 로써
-- 를 추정한 것에 차이가 있는데, 를 로 추정했기에 자유도를 하나 잃게 된 것이다.
-- 그리고, 여기서는 자체의 분포보다는 의 분포를 얻었다.
 
-- 3-6 표본추출방법
-- 실제조사업무에서 표본을 제대로 얻는 것은 곧 작업의 성패를 가름할 만큼 중요한 일이다.
-- 그러므로 성공적인 조사업무를 위해서는 모집단을 잘 대표할 수 있는 표본의 추출 방법을
-- 제대로 이해해야만 할 것이다. 먼저, 표본추출을 위하여 모집단에 대한 대표성이 확실히
-- 보장될 수 있는 추출방법을 선정해야 하는데 크게 확률적 추출과 비확률적 추출로 구분할 수
-- 있다.
 
-- 3-6-1 확률적 추출
-- 모집단을 구성하고 있는 모든 요소가 표본으로 선정될 수 있으며 다음과 같이 네 가지
-- 방법이 있다.
-- 1) 단순무작위추출(simple random sampling)
-- 모집단을 구성하고 있는 각 개체가 표본으로 뽑힐 가능성이 같도록 하는 추출방법이다.
-- 예를 들어 10명의 농구선수들이 있는데 이들 중 3명을 선택하고자 할 경우 가지의
-- 선수들조합이 가능하다. 다시 말하면, 120개의 서로 다른 표본들이 가능한 데 이들 중 하나의
-- 표본을 얻게되는 것이다. 또, 각 선수가 표본으로 뽑힐 가능성은 30%이다. 그러면, 단순무작위
-- 추출방법을 어떻게적용시킬 것인가?먼저, 10명의 선수에게 0부터 9까지의 값을 부여한 후
-- {0, 1, 2, …, 9}중에서 임의로 세 개의 숫자를선택하고 그 숫자를 부여받은 선수를 택하는
-- 방법이 곧 단순무작위추출에 의한 표본추출방법이 된다.이제, 10,000명으로 구성되어 있는
-- 모집단으로부터 n=100 크기의 표본을 선택하는 과정을 살펴보자.먼저, 10,000명에게 0부터
-- 999의 일련번호를 부여한다면, 어떤 번호를 100개 뽑을 것인가가 문제인데컴퓨터통계패키지를
-- 이용하여 [0, 1]사이의 값 중에서 소수점아래 세 자리 수로 100개의 난수(randomnumber)를
-- 생성(generate)시키면 될 것이다. 이를테면. 의 난수를 얻어
-- 소수점 뒤의 값들을 이용, 그 번호에 해당하는 사람들을 표본으로 선택한다는 것이다.

-- 2) 층화추출(stratified sampling)
-- 모집단을 성격에 따라 여러 집단(층)으로 구분한 다음 각 층에서 일정크기의 표본을 얻는
-- 방법이다.여기에서 모집단을 여러 집단(층)으로 나눌 경우 각 집단(층)내에서 개체들은 조사의
-- 목적에 동질적(homogeneous)이어야 할 것이다. 예를 들면, 승용차 보유자들을 대상으로
-- 서베이(survey)를 한다고할 때 승용차 보유자들을 집단으로 나눈다면 소형차, 중소형차,
-- 중형차, 준대형차, 대형차 보유를 기준으로 5개의 층(집단)으로 나누는 것이 바람직할 것이다. -- 각 층내에 속한 사람들은 차의 크기/가격이비슷한 승용차들을 타고 있으므로 동질적이라고
-- 볼 수 있다.

-- 3) 군집추출(cluster sampling)
-- 모집단이 몇 개의 집단들로 구성되어 있다고 간주하고 그 집단들 중에서 몇 개의 집단을 뽑아
-- 그 집단들의 구성요소들을 모두 표본으로 추출하는 방법이다. 예를 들면, 서울시가 25개
-- 구 540개의 동으로 구성되어 있을 때 조사의 목적에 따라 1개 구만 선택하여 그 구에 살고 있는
-- 가구 전체를표본으로 삼거나, 각 구에서 몇 개씩의 동을 선택하여 그 동에 살고 있는 가구들을
-- 대상으로 조사하는방법이다. 이 방법은 시간과 경비를 줄이는 데 도움이 될 것이다.

-- 4) 체계적 추출(systematic sampling)
-- 모집단의 요소들에 일련번호를 부여하고 매 10번째 또는 매 1000번째 번호에 해당하는 표본을
-- 얻는방법이다. 예를 들면, 10,000명 중 표본으로 얻고자 할 때 100명당 1명씩을 선택하면 되므로
-- 1~100중의한 값을 임의로 선택한 후(25라 하자), 25, 125, 225, … , 9925의 100개를 얻을 수
-- 있다. 또는, 전화번호부를 이용하여 전화조사를 하고자 할 때, 몇 page마다 3번째 줄 5번째
-- 전화번호들을 표본으로 선택할 수 있다.
 
-- 3-6-2 비확률적 추출
-- 모집단에 대한 정보가 없거나 확률적 추출이 어려울 경우 연구자의 주관에 의해 추출한다.

-- 1) 편의추출(convenience sampling) 2) 판단추출(judgement sampling)
 
 
>>위로